Question

抛物线y²=2px(p＞0)与直线y=x+1相切，A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是抛物线上的两个动点

抛物线y²=2px(p＞0)与直线y=x+1相切，A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是抛物线上的两个动点，F为抛物线的焦点，AB的垂直平分线l与x轴交于点C，且AF绝对值+BF绝对值=8。
（1）求p的值(2)求C点的坐标，（3）求直线l的斜率k的取值范围

Answer 1

（1）由

y2＝2px(p＞0)
y＝x+1

得：y2-2py+2p=0（p＞0）有两个相等实根
即△=4p2-8p=4p（p-2）=0，得：p=2为所求；
（2）抛物线y2=4x的准线x=-1．
且|AF|+|BF|=8，由定义得x1+x2+2=8，则x1+x2=6
设C（m，0），由C在AB的垂直平分线上，从而|AC|=|BC|
则(x1−m)2+y12＝(x2−m)2+y22
(x1−m)2−(x2−m)2＝−y12+y22
（x1+x2-2m）（x1-x2）=-4（x1-x2）
因为x1≠x2，所以x1+x2-2m=-4
又因为x1+x2=6，所以m=5，则点C的坐标为（5，0）；
（3）设AB的中点M（x0，y0），有x0＝x1+x2/2＝3
设直线l方程y=k（x-5）过点M（3，y0），得y0=-2k
又因为点M（3，y0）在抛物线y2=4x的内部，则y02＜12
得：4k2＜12，则k2＜3
又因为x1≠x2，则k≠0
故k的取值范围为(−根号3，0)∪(0，根号3)．

Answer 2

请采纳。