Question

F(x)=x(e^x-1)-ax^2 ， 若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围？ f(x

F(x)=x(e^x-1)-ax^2 ， 若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围？

f(x)=x*(e^x-1)-ax^2
所以，f'(x)=e^x-1+x*e^x-2ax=(x+1)e^x-2ax-1
则当x=0时，有：f'(x)=0。且f(0)=0
已知当x≥0时，f(x)≥0
所以，必须满足在x＞0时，f'(x)＞0【因为只有这样才能保证f(x)在x＞0时递增，且f(x)≥f(0)=0】
则：f''(x)=e^x+(x+1)e^x-2a=(x+2)e^x-2a在x＞0时大于等于零
所以，(0+2)*e^0-2a≥0
则，a≤1

本题为什么要求导两次，它的作用是什么

Answer 1

f(x)≧0

即：x(e^x-1)-ax²≧0
因为x≧0，所以，两边约去一个x得：
e^x-1-ax≧0
ax≦e^x-1
x=0时，0≦0，得：a∈R；
x>0时，a≦(e^x-1)/x
令g(x)=(e^x-1)/x，x>0
g'(x)=(xe^x-e^x+1)/x²=[(x-1)e^x+1]/x²
令h(x)=(x-1)e^x+1，x>0
h'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x>0
所以，h(x)=(x-1)e^x+1在(0,+∞)上递增，
则：h(x)>h(0)=0
所以，g'(x)=h(x)/x²>0
所以，g(x)=(e^x-1)/x在(0,+∞)上递增，
则：g(x)>g(0)，
lim(x→0)(e^x-1)/x=1
所以，g(x)>g(0)=1
所以，a≦1

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