Question

几道数学题，帮帮我

1.（如上图）点A，B，C，在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形。若M，N分别是AE，CD的中点，是判断△BMN的形状，并证明。
我判断是等边三角形，但不会证明。
2.如下图，点P为等边三角形ABC中任意一点，P点到△ABC三边的距离分别用r1，r2，r3表示，r1+r2+r3是否是定值？如果是，请猜测这个定论，并证明。

Answer 1

1 △ABD是等边三角形，则AB=BD,角ABD=60度；
△BCE是等边三角形，则BC=BE，角EBC=60度；
现在看，△ABE与△DBC，证它两全等：
AB=DB,角ABD+角DBE=角EBC+角DBE，BC=BE,根据边角边定理知道△ABE与△DBC全等
则可以得知对应边上的中线相等，即BM=BN，进而可以确定 △BMN为等腰三角形
至于是否为等边，这个要证明角NBM为60度，这个尝试了一下，不能证出来！！

2 设三边长是同一定值a

拿出纸来画：
作出P点到三边的高（其长度即到三边的距离b,c,d）
分别连接PA,PB,PC。
SΔABC=SΔPAB+SΔPBC+SΔPCA
>1/2×a×高＝1/2×ab+1/2×ac +1/2×ad
>高＝b+c+d
∴等边三角形内任意一点P到三边距离和等于一边上的高

利用面积法证明。
把这个点跟三角形三个顶点连接起来，把原三角形分成三个小三角形，这三个小三角形面积的和就等于原三角形的面积，结合三角形的面积公式，就可以得到我们想要的结论了