Question

matlab实验题，紧急！！！

研究二项分布与正态分布的近似关系，如X~B(n, p)，n=5, p=0.2; n=10, p=0.2; n=50, p=0.2。比较(X-np)/((npq)^1/2)的分布函数与标准正态分布函数的值，画出它们分布函数的图像，得出你自己的结论。

Answer 1

有结论：正太分布是二项分布的极限分布。
(X-np)/((npq)^1/2)里面的q是什么？1-p？

追问

恩。关键是代码。
(X-np)/((npq)^1/2)的分布函数怎么求啊？

追答

前几天出差，没及时回答，不知道是否还用得上。

 

先从理论上说一下。二项分布有两个参数，一个 n 表示试验次数，一个 p 表示一次试验成功概率。现在考虑一列二项分布B(n,p)，其中试验次数 n 无限增加，而 p 是 n 的函数。

如果 np 存在有限极限 λ，则这列二项分布就趋于参数为  λ 的 泊松分布。反之，如果 np 趋于无限大（如 p 是一个除0、1之外的定值），则根据德莫佛-拉普拉斯(De'Moivre-Laplace)中心极限定理，这列二项分布将趋近于正态分布N(np,npq)。有不同的经验法则可以用来决定n是否足够大，以及p是否距离0或1足够远，例如，一个规则是np和n(1-p)都必须大于 5。

 

参考代码：

B = @(n,p)arrayfun(@(k)nchoosek(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),0:n);
p = 0.2;

x = -5:0.1:5;
f = 1/sqrt(2*pi) * exp(-x.^2);

 

clf

n = 5;
subplot 321
X = 0:n;
pmf = B(n,p);
stem(X,pmf)
subplot 322
sigma = (n*p*(1-p))^(1/2);
stem((X-n*p)/sigma,pmf*sigma)
hold on
plot(x,f,'r')
xlim([-5 5])

 

n = 10;
subplot 323
X = 0:n;
pmf = B(n,p);
stem(X,pmf)
subplot 324
sigma = (n*p*(1-p))^(1/2);
stem((X-n*p)/sigma,pmf*sigma)
hold on
plot(x,f,'r')
xlim([-5 5])

 

n = 50;
subplot 325
X = 0:n;
pmf = B(n,p);
stem(X,pmf)
subplot 326
sigma = (n*p*(1-p))^(1/2);
stem((X-n*p)/sigma,pmf*sigma)
hold on
plot(x,f,'r')
xlim([-5 5])

 

代码就不多解释了，有疑问请追问。

图中，左侧是二项分布的概率密度函数图像，右侧是(X-np)/((npq)^1/2)与标准正态分布曲线的对比，其中X服从二项分布B(n,p)。