已知函数f(x)=-x²+ax-㏑x(a∈R),当函数f(x)在(½,2)上单调,求a的取值范围利用

钟馗降魔剑2
2014-09-05 · TA获得超过2.4万个赞
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f‘(x)=-2x+a-1/x=-(2x²-ax+1)/x
①当f(x)在(1/2,2)上单调递增时,令f'(x)=-(2x²-ax+1)/x>0,那么2x²-ax+1<0
∴ax>2x²+1,∴a>2x+(1/x)对于x∈(1/2,2)恒成立,那么a要大于2x+(1/x)的最大值
而函数y=2x+(1/x)在(0,√2/2)上单调递减,在(√2/2,+∞)上单调递增,那么最大值在x=1/2,或x=2处取得:当x=2时,2x+(1/x)=9/2;当x=1/2时,2x+(1/x)=3,∴最大值为9/2,∴a≥9/2;
②当f(x)在(1/2,2)上单调递减时,令f'(x)=-(2x²-ax+1)/x<0,那么2x²-ax+1>0
∴ax<2x²+1,∴a<2x+(1/x)对于x∈(1/2,2)恒成立,那么a要大于2x+(1/x)的最小值
当x=√2/2时,2x+(1/x)取得最小值为2√2,∴a<2√2
综上所述,a<2√2,或a≥9/2

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720670sn
2014-09-05 · 超过66用户采纳过TA的回答
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1、a=1时,f(x)=lnx-x²+x,定义域为:x>0
f'(x)=1/x-2x+1=-(2x²-x-1)/x=-(2x+1)(x-1)/x
x>0,则:2x+1>0,
所以,易得:0<x<1时,f'(x)>0;x>1时,f'(x)<0;
所以,f(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减
则f(1)是最大值,f(1)=ln1-1+1=0
f(x)的最大值为0
所以,函数f(x)只有一个零点。
题设得证。

2、
f'(x)=1/x-2a²x+a=-(2a²x²-ax-1)/x
在(1,+∞)上 是减函数,则f'(x)<0对x>1恒成立
即:-(2a²x²-ax-1)/x<0对x>1恒成立
即:2a²x²-ax-1>0对x>1恒成立
观察该式,可以十字相乘:
(2ax+1)(ax-1)>0
(1)a=0时,-1>0,舍去;
(2)a<0时,x1=-1/2a>0,x2=1/a<0
不等式的解为:x<1/a或x>-1/2a
对x>1恒成立,则:-1/2a≦1
得: a≦-1/2
所以,a≦-1/2
(3)a>0时,x1=-1/2a<0,x2=1/a>0
不等式的解为:x<-1/2a或x>1/a
对x>1恒成立,则:1/a≦1
得: a≧1
所以,a≧1
综上,实数a的取值范围是:a≦-1/2或a≧1

祝你开心!希望能帮到你,如果不懂,请追问,祝学习进步!O(∩_∩)O
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