Question

设集合A={x|-2≤x≤a}，且A≠∅，B={y|y=2x+3,x∈A}，C={z|z=x^2),x∈A}

题目：设集合A={x|-2≤x≤a}，且A≠∅，B={y|y=2x+3,x∈A}，C={z|z=x^2),x∈A}，且C⊆B,求实数a的取值范围？
答案有的几点看不懂

〖为什么要① ② ③的范围，范围怎么求？〗
〖如果是①范围，C不是应该【0，4】吗？ 怎么是a^2≤ z ≤4？〗
答案是这样子的：
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∵A={x|-2≤x≤a}，且A≠∅
∴a＞-2
∴B={y|y=2x+3，x∈A}={y|-1≤y≤2a+3}.
①当-2≤a≤0时，C={z|a^2≤ z ≤4}
∵C⊆B，∴4≤2a+3，
解得a≥1/2,这与-2≤a≤0矛盾。
②当0＜a≤2时，C={z|0≤ z ≤4}
∵C⊆B，∴4≤2a+3
解得a≥1/2,∴1/2≤ z ≤a^2
③当a＞2时，C={z|0≤ z ≤a^2}
∵C⊆B，∴a^2≤2a+3，
解得-1≤a≤3，∴2＜a≤3
综上所述 {a|1/2≤a≤3}
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Answer 1

为什么要① ② ③的范围，范围怎么求？ --- 分成几种情况讨论会简单一些，尤其是C的范围，在-2到0之间是递减函数0到正无穷的时候是递增的。（最直观的方法就是把b和c在坐标轴上画出来）

①当-2≤a≤0时，-2≤x≤a z = x^2 所以z在0和4之间； 因为c属于b 所以c的范围必须再b的范围内； z < y, 以及-1≤y≤2a+3 所以 4≤2a+3 在这个情况下求解a≥1/2 但是注意这里讨论的是 “当-2≤a≤0时” 所以这两个矛盾，这个不是正解。

②当0＜a≤2时，C={z|0≤ z ≤4} 情况和上面类似 4≤2a+3 同样解得a≥1/2, 这个讨论的是“当0＜a≤2时” 所以 在这里的 a≥1/2 是正解

③当a＞2时，C的范围变成|0≤ z ≤a^2 （应为当a在-2和2之间的时候最多x^2是4，当a大于2的时候就可以大于4了 ）这种情况下要求C⊆B，就要满足a^2≤2a+3 ， 分解成 (a-3)(a+1)<=0 解得-1≤a≤3，因为前面说了这里讨论的是当a>2的情况 所以 2＜a≤3

之所以说画个图呢，就是这样：b是直线，与坐标轴的交点分别是(-3/2, 0) (0, 3) x^2是抛物线 坐标原点是顶点，直线和抛物线相交在两个点 （3， 9） 和 （-1， 1） 换句话说这道题想要求解的 就是 抛物线的值小于直线 的值的区间段

综上所述 {a|1/2≤a≤3}