Question

如何证明函数有界必须有上界和下界

Answer 1

写不太严格，只能大概说下： 充分性： 若f(x)上界 M 下界N 则：|f(x)|<=Max{M,N} 有界！ 必要性： 反证法，假设f(x)在X上没有上界或下界。则：存在某数a，当x->a时，f(a)->∞，则|f(a)|->+∞，则不存在一个A，使得任意的x∈X都有|f(x)|<A，这与函数f(x)在X上有界矛盾。所以，假设不成立，f(x)在X上即有上界又有下界。