Question

一道关于函数单调性的题目

已知函数f(x)=x+1∕x(x≠0)
(1)证明函数f(x)在(0,1)上为减函数.
(2)证明函数f(x)在(1,+∞)上为增函数.
(3)求函数f(x)在(0,+∞)上的最小值.

Answer 1

f(x)=x+1/x(x≠0）
f′(x)=1-1/(x^2)
令f′(x)＝0解得：x=±1
列表可得：
x∈（-∞，-1）时，f′(x)＞0,即f(x)递增
x∈（-1,0）时，f′(x)＜0,即f(x)递减
x∈（0,1）时，f′(x)＜0,即f(x)递减
x∈（1，+∞）时，f′(x)＞0，即f(x)递增
而x=±1时，f′(x)=0,即±1是f(x)的俩个极点
且画图像即可得到
∴f(x)在（0,1）上为减函数得证
f(x)在（1，+∞）上为增函数得证
∵f(x)在（0，+∞）上为先减后增
∴f(x)min=f(1)=2
∴f(x)在(0,+∞)上的最小值为2

Answer 2

(1)f(x)=x+1/x 设x1 x2 且1>x1>x2>0
f(x1)-f(x2)=x1-x2+1/x1-1/x2
=(x1-x2)(1-1/x1x2)
1/x1x2>1
所以f(x1)-f(x2)<0
减函数
（2）f(x1)-f(x2)==(x1-x2)(1-1/x1x2)
x在(1,+∞)上
所以1/x1x2<1
f(x1)-f(x2)>0
为增函数
3)f(x)=x+1/x
xf(x)=x^2+1
x^2-xf(x)+1=0
配方得[x-f(x)/2]^2-[f(x)^2]/4+1=0
所以f(x)=2为最小值

Answer 3

f(x)=x+1∕x

f'(x)=1-1∕x^2

(1)在(0,1)上f'(x)<0 函数f(x)在(0,1)上为减函数

(2)在(1,+∞)上f'(x)>0 函数f(x)在(1,+∞)上为增函数

(3)在(0,+∞)上当x=1时,f(x)最小值为2