Question

在△ABC中AB=AC,P是BC上任意一点.如图一,若p是BC边上任意一点,PF⊥AB于点F。PE⊥AC于点E，

在△ABC中AB=AC,P是BC上任意一点.如图一,若p是BC边上任意一点,PF⊥AB于点F。PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，请探求PE，PE于BD之间的数量关系；
（2）如图2，若BC的延长线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，CD是△ABC的高线，请探求PE,PF与CD之间的数量关系。

Answer 1

1、PE+PF=BD
做BG⊥EP，交EP延长线于G，
∵BD⊥AC，PE⊥AC，
∴∠G=∠BDE=∠DEG=90°
∴BDEG是矩形
∴BD=EG=PE+PG
BG∥AC(DE)
∴∠GBP=∠C
∵AB=AC，那么∠C=∠ABC=∠FBP
∴∠FBP=∠GBP
∵BP=BP，∠PFB=∠PGB=90°(PF⊥AB)
∴△BPF≌△BPG(AAS)
∴PF=PG
∴BD=BE+PG=PE+PF
2、做PH⊥CD，交DC延长线于H
∵PF⊥AB，CD⊥AB
∴∠PFD=∠FDH=∠PHD=90°
∴DFPH是矩形
那么PF=DH=CD+CH，PH∥DF(AB)
∴∠B=∠HPC
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB=∠ECP=∠HPC(有对顶角相等）
即∠ECP=∠HPC
∵PE⊥AC，即∠PEC=∠PHC=90°
PC=PC
∴△PCE≌△CPH(AAS)
∴PE=CH
∴PF=CD+PE