Question

高等代数，矩阵运算证明

A,B,C,D都为nxn矩阵，A的行列式不为0，AC=CA,证：G的行列式=H的行列式，其中G为2x2分块矩阵，G11=A,G12=B,G21=C,G22=D,H为1x1分块矩阵，H11=AD-CB

Answer 1

实际上无论A是否可逆，只要满足AC=CA，均有|A，B；C，D|=|AD-CB|，A可逆时直接利用初等变换，A不可逆时利用下扰动法即可
（1）A可逆时：
[I，0；-CA^（-1），I]乘[A，B；C，D]=[A，B；0，-CA^（-1）B+D]。两边取行列式，|A，B；C，D|=|A||D-CA^（-1）B|=|AD-ACA^（-1）B|=|AD-CAA^（-1）B|=|AD-CB|
（2）A不可逆时：令A1=A+tI，则|A1|=f（t）=t^n+…+|A|（n次多项式），设t1为f（t）最小正根，则对于任意的t属于（0，t1），均有f（t）不等于0，即A1可逆，用A1代换（1）中的A，可得|A1，B；C，D|=|A1D-CB|，令t趋于0，即得|A，B；C，D|=|AD-CB|