Question

高中数学题 函数

已知定义在区间（-1，1）上的函数f（x）=（ax+b）/（1+x²）为奇函数，且f（1/2）=2/5
（1）求 a，b的 值；
（2）求证函数f（x）在区间（-1，1） 上是增函数
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0
第一问 就直接结果吧 我会做 主要是第二问 我不知道怎么变形 判断不了正负号！！

Answer 1

最佳答案（1）因为函数f(x)=(ax+b)/(1+x^2)为奇函数且定义域为(-1,1),
所以可得f(0)=0即b=0
又因为f(1/2)=2/5，
所以可得:a/2+b=1/2
所以a=1

(2)由（1）可知，f(x)=x/(1+x^2)
设-1<x1<x2<1
所以f(x1)=x1/(1+x1^2),f(x2)=x2/(1+x2^2)
所以f(x1)-f(x2)=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)
化简可得：f(x1)-f(x2)=[（x1-x2)(1-x1x2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
又因为x1-x2<0，1-x1x2>0,(1+x1^2)(1+x2^2)>0
所以f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)
所以函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数

(3)f(t-1)=(t-1)/[1+(t-1)^2],f(t)=t/(1+t^2)
所以f(t-1)+f(t)＝隐配(t-1)/[1+(t-1)^2]＋t/(1+t^2)
通分可得：{(t-1)(1+t^2)+t[1+(t-1)^2]}/{[1+(t-1)^2](1+t^2)}……1式
所以1式<0
又因为[1+(t-1)^2](1+t^2)恒大于0
所以可得：(t-1)(1+t^2)+t[1+(t-1)^2]<0
所以，t+t^3-1-t^2+t+t(t-1)^2<0
t^3-(t^2-2t+1)+t(t-1)^2<0
t^3-(t-1)^2+t(t-1)^2<0
t^3+(t-1)(t-1)^2<0
t^3+(t-1)^3<运燃0
(t+t-1)[t^2+(t-1)^2-t(t-1)]<0 (这一步用了立方和旁携虚公式)
(2t-1)(t^2-t+1)<0
又因为t^2-t+1=(t-1/2)^2+(3/4)恒大于0
所以可得：2t-1<0
所以t<0.5
又因为原函数的定义域为（-1,1）
所以-1<t-1<1,-1<t<1
所以0<t<1
综上，0<t<0.5

Answer 2

1）、f（x）在（-1，1）区间上是奇函数，则b=0

f（1/2）=a/2*1/（或闭1+1/4）启尺=2/5，得a=1

所以a=1，b=0

2）、f（x）=x/（1+x^2)

证：取-1<x1<x2<1,则x1-x2<0，｜x1x2｜<1

f(x1)-f(x2)=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)=(x1-x2)(1-x1x2)/【（1+x2^2)(1+x1^2)】<0

所以f（x1）<f（x2）

所以函数f（x）在区间（-1，1） 上是增函数

3）、f（t-1）+f（t）<0

t-1∈（-1，1），即t∈（0，2）
t∈（-1，1）
所以t∈（0，1）

因为是f（x）是奇函数，且在定义域是单调递增的。

所以f（t-1）+f（t）<0中，1-t>t,得t<1/2

所以不等式的衫旁裂解是x∈（0，1/2）

Answer 3

对称轴渗枝穗为X=3/2,所以函数搭源过点(3/2,8),所以设函数方程为Y=a(x-3/2)^2+8,代人点（1，-1),得a=-36,方丛卜程为y=-36(x-3/2)^2+8

Answer 4

依据x的取值范围来确定函数的单调性，知道了c，把c替换成1/c后计算