Question

判断级数的敛散性，下面那个级数怎么判断？要详细步骤。求解。

Answer 1

令√x=u，则 ∫e^(-√x)dx = 2∫ue^(-u)du = -2∫ude^(-u)
= -2ue^(-u)+2∫e^(-u)du = -2(u+1)e^(-u)+C
=-2(√x+1)e^(-√x)+C.
∫<n,n+1>e^(-√x)dx =
-2[1+√(n+1)]e^[-√(n+1)]+2(1+√n)e^(-√n)
∑<n=1,∞> ∫<n,n+1>e^(-√x)dx
= 4/e - 2(1+√2)e^(-√2) + 2(1+√2)e^(-√2) - 2(1+√3)e^(-√3)
+2(1+√3)e^(-√3)-2(1+√4)e^(-√4)+......
+2(1+√n)e^(-√n)-2[1+√(n+1)]e^[-√(n+1)]+......
= 4/e - 2lim<n→∞>[1+√(n+1)]e^[-√(n+1)]
因 lim<x→+∞>[1+√(x+1)]e^[-√(x+1)]
= lim<x→+∞>[1+√(x+1)]/e^[√(x+1)] = 0
故 ∑<n=1,∞> ∫<n,n+1>e^(-√x)dx = 4/e， 级数收敛。

追问

∫e^-√2dx=4／e-…+…-…这一步怎么来的？

追答

对上一步求出的原函数 -2[1+√(n+1)]e^[-√(n+1)]+2(1+√n)e^(-√n)
用 n= 1，2，3，....., 代值, 正项放在前面，即得。

追问

我知道了，你那写错了一个。应该是前项和sn从k=1到n。谢谢你