Question

已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos²x（x∈R）. （1）求f(x)的最小正周期，并求

已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos²x（x∈R）. （1）求f(x)的最小正周期，并求f(x)的最小值

Answer 1

解：
(1)
∵f(x)=2sinxcosx+2cos²x=2sinxcosx+(2cos²x-1)+1=sin(2x)+cos(2x)+1=(√2)sin(2x+π/4)+1
∴T=2π/2=π.
令2x+π/4=3π/2+2kπ，则x=5π/8+kπ(k∈Z).
即当x=5π/8+kπ(k∈Z)时，f(x)有最小值1-√2.
(2)
∵f(x)=(√2)sin(2x+π/4)+1
∴f(x+π/8)=(√2)sin[2(x+π/8)+π/4]+1=(√2)sin(2x+π/2)+1=(√2)cos(2x)+1
∴g(x)=f(x+π/8)-1=[(√2)cos(2x)+1]-1=(√2)cos(2x)
∵x∈[-π/6，π/3]
∴2x∈[-π/3，2π/3]
由余弦函数图像知：最大值是1
则g(x)=(√2)cos(2x)的最大值就是√2.
∵g(x)<a-2恒成立
∴a-2>√2
∴a>2+√2.
∴a的取值范围是(2+√2，+∞).