Question

设函数f（x）=2分之根号2cos（2x+4分之兀）+sin平方x， 设函数g（x）对任意x...

设函数f（x）=2分之根号2cos（2x+4分之兀）+sin平方x， 设函数g（x）对任意x属于R，有g（x+2分之兀）=g（x），x属于[0，2分之兀]时，g（x）=2分之1-f（x），求g（x）有区间[-兀，0]上的解析式？

Answer 1

(1)
f(x=1/2cos2x-1/2sin2x+(1-cos2x)/2
=1/2cos2x-1/2sin2x+1/2-1/2cos2x=
=- 1/2sin2x+1/2
即f(x)= - 1/2sin2x+1/2
w=2 ;由周期公式得T=2π/2=π

(2)
当-π≤x≤ - π/2时
0≤x+π≤ π/2
g(x+π)=1/2-f(x+π)
=1/2-[ - 1/2sin2(x+π)+1/2]
=1/2sin2(x+π)
=1/2sin2x
g(x+π)=g(x+π/2)=g(x)
即g(x)=1/2sin2x

当-π/2<x≤ 0时
0<x+π/2≤ π/2
g(x+π)= 1/2-f(x+π)
=1/2-[]
=1/2-[ - 1/2sin2(x+π/2)+1/2]
=1/2sin2(x+π/2)
= - 1/2sin2x
综合可知：g(x)={1/2sin2x (-π≤x≤ - π/2)
g(x)={-1/2sin2x (-π2<x≤ 0)

Answer 2

f（x）=（√2/2）cos（2x+π/4）+（sinx）^2
=(1/2)(cos2x-sin2x+1-cos2x)
=(1/2)(1-sin2x),
由g(x+π/2)=g(x)知π/2是g(x)的周期，
x∈[0，π/2]时，g（x）=1/2-f（x）=（1/2）sin2x，
x∈[-π/2，0]时x+π/2∈[0,π/2],g(x)=g(x+π/2)=(1/2)sin2(x+π/2)=(1/2)sin(2x+π)=(-1/2)sin2x,
同理，x∈[-π，-π/2]时g(x)=(1/2)sin2x.