Question

△ABC中,AB=AC,P是BC上的一动点,PE⊥AB垂足为E,PF⊥AC垂足为F,BD⊥AC垂足为D,求证PE+PF=BD

三种方法：1、截长2、补短3、面积法

Answer 1

1、做BG⊥PF，交FP延长线于G

∵BD⊥AC，PF⊥AC，

∴∠BDF=∠PFD=∠BGF=90°

∴BGFD是矩形

∴BD=GF

BG∥AC(DF)

∴∠C=∠GBP

∵AB=AC，那么∠C=∠ABC=∠EBP

∴∠GBP=∠EBP

∵PE⊥AB，那么∠PEB=∠PGB=90°

PB=PB

∴△BPE≌△BPG(AAS)

∴PG=PE

∴GF=PG+PF=PE+PF

∴BD=PE+PF

 

2、做PH⊥BD于H

∵BD⊥AC，PF⊥AC，

∴∠BDF=∠PFD=∠PHD=90°

∴PHDF是矩形

PH∥AC(DF)，DH=PF

∴∠C=∠HPB

∵AB=AC，那么∠C=∠ABC=∠EBP

∴∠HPB=∠EBP

∵PE⊥AB，那么∠BEP=∠PHB=90°

BP=BP

∴△BPE≌△BPH(AAS)

∴PE=BH

∴BD=BH+DH=PE+PF

3、连接AP

∵BD⊥AC

∴S△ABC=1/2BD×AC

∵PE⊥AB

∴S△APB=1/2PE×AB

∵PF⊥AC

∴S△APC=1/2PF×AB

∵S△ABC=S△APB+S△APC

AB=AC

∴1/2BD×AC=1/2PE×AB+1/2PF×AB

即BD=PE+PF

追问

O(∩_∩)O谢谢你的帮助