Question

设函数f（x）=alnx-bx²（x>0）, ⑴求函数f（x）在x=1处与直线y=-1/2相切,

设函数f（x）=alnx-bx²（x>0）, ⑴求函数f（x）在x=1处与直线y=-1/2相切, ①求实数a,b的值; ②求函数f（x）在［1/e,e］上的最大值. ⑵当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈［0,3/2］,x∈（1,e²］都成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

您好！
根据题意，此题可以求解如下：
①由f(x)=alnx+bx²在P点（1，f(1))处的切线方程为2x-y-3=0;
f(1)=aln1+b1²=ax0+b=b;
又f'（x）=a/x+2bx,则过点P处的切线斜率k=a+2b
过P点的切向方程可列些如下y-b=k(x-1);
y-b=(a+2b)(x-1)********
(a+2b)x-y-(a+b)=0

* * * *
2x -y -3=0;可得

a+2b=2；
a+b=3;****************************************a=4,b=-1
综上可知，f(x)=4lnx-x²;
②由①可知f(x)=4lnx-x²，g(x)=f(x)+m-ln4=4lnx-x²+m-ln4=0

m=x²+ln4-4lnx;
令q(x)=x²+ln4-4lnx,则q'(x)=2x-4/x,令q'(x)=0,也即2x-4/x=0,求解可得x=±√2
又f(x)的定义域为x＞0，则x=-√2【舍去】
q‘(x)在x∈（0，√2）上小于零，故q(x）在x∈（0，√2）上单调递减，且在x=√2时取得最小，在
x∈[√2,∞)上单调递增，要使m=x²+ln4-4lnx有两个解，m只需大于最小值，小于适当的大值即可
q(1/e)=(1/e)²+ln4-4ln(1/e)=(1/e)²+ln4+4;
q(√2)=(√2)²+ln4-4ln(√2)=2****************************************最小值
q(2）=2²+ln4-4ln2=4-2ln2
q(1/e)=(1/e)²+ln4-4ln(1/e)=(1/e)²+ln4+4=4+2ln2+(1/e)²＞q(2)*************最大值

综上可知，m的取值范围为（2，4-2ln2]

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