Question

数列收敛和数列极限唯一是一回事吗

Answer 1

数列收敛，那么数列自然有极限；反之不一定；
设数列{a(n)}收敛于a，a是有限数，那么称数列有极限，且极限为a；
但数列有极限，未必收敛，如a(n)=n，a(n)极限为+∞，但不收敛。
假如数列{a(n)}又收敛于b，那么一定有a=b，用反证法证明：
根据极限的定义，若a≠b，不妨设a<b；
取e=(b-a)/2，存在N1，使得当n>N1，有 a-e<a(n)<a+e；
又存在N2，使得当n>N2，有 b-e<a(n)<b+e；
取N=max{N1,N2}，当n>N时，有
a(n)<a+e 且 a(n)>b-e，那么 b-e<a+e，由于e=(b-a)/2，矛盾。
所以 a=b ，即如果数列收敛，极限存在，且极限唯一。

Answer 2

不相同。

数列收敛肯定有极限，但数列有极限不一定收敛，如：
当x →∞时，sinx的极限为±1，但它不收敛。

Answer 3

数列收敛是说数列的一个性质，数列极限唯一是一个命题。。放在一起怪怪的
二者关系是这样的：
如果数列收敛，则必有极限，这个极限是唯一的；
反过来，如果数列有极限，则数列收敛。