Question

已知一个n阶方阵A有n个特征值全为0，求证：A^(n-1)不一定为0，但是A^n必为0。

Answer 1

这与约当标准形有关
A 的 k 阶约当块J=
0 1 0...0 0
0 0 1...0 0
...
0 0 0 ... 0 1
0 0 0... 0 0
J^(k-1)≠0, J^k = 0

不知你学这个没

追问

见过，但是不知怎么利用它来解决此问题。

追答

这就好办了
A 的约当标准形是由约当块构成的
A 与 J =
J1 0...0
0 J2...0
...
0 0... Js
相似 , A=P^-1JP

这些子块中阶数最高的设为k阶, 则 J^k = 0 (k<=n)
J^k=
J1^k 0...0
0 J2^k...0
...
0 0... Js^k
= 0
易知 A^n = P^-1J^nP = P^-10P = 0