Question

如图，抛物线为二次函数y=x^2-2x-3的图像，它与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C。

（1）直接写出A,B,C三点坐标和抛物线对称轴。
(2）连接BC，求直线BC对应的函数关系式。
（3）若点P为线段BC上的一个动点，过点P作PE//y轴交抛物线于点F，设点P的横坐标为m，三角形BCF的面积为S，求S的最大值及相应m的值。
要求在图片上作出P,F两点。

Answer 1

（1）代入X=0，则Y=-3，所以C（0，-3）
代入Y=0：
X²-2X-3=0
（X+1）（X-3）=0
X1=-1，X2=3
因为A在B左边，所以A（-1，0）、B（3，0）
A、B两点关于对称轴对称，因此对称轴为X=（-1+3）/2=1
（2）因为C（0，-3），所以设直线BC表达式为Y=KX-3
代入B点坐标：3K-3=0，K=1
所以直线BC为Y=X-3
（3）P在直线BC上，所以设P（m，m-3）
F在抛物线上，所以设F（m，m²-2m-3）
在BC之间时，直线BC总在抛物线上方，所以P点纵坐标大于F点纵坐标
因此PF=m-3-(m²-2m-3)=-m²+3m
分别从B、C向PF作垂线段，长度分别记作h1、h2
S△BCF=S△BPF+S△CPF=1/2×PF×h1+1/2×PF×h2=1/2×PF×(h1+h2)
显然h1+h2是B、C两点横坐标的差，为3
所以S=1/2×(-m²+3m)×3=-3m²/2+9m/2
当m=-b/(2a)=(-9/2)/（3/2×2）=3/2时S最大
代入m=3/2，S最大值为27/8