Question

设函数f(x)=log2(1+x)/(1-ax)),若f(-1/3)=-1，（1）求f(x)的解析式并判断其奇偶性,

（2）G(X)=log根号2((1+X)/K)若x属于1/2—2/3时f(x)小于或等于G(X)有解，求K的取值范围

Answer 1

约定：[ ]内是对数的底数。

原题是:设函数f(x)=log[2]((1+x)/(1-ax)),若f(-1/3)=-1.
(1) 求f(x)的解析式并判断其奇偶性,
(2)G(X)=log[√2]((1+X)/k),若x∈[1/2,2/3]时,f(x)≤G(X)有解，求k的取值范围.

解：(1) 由f(-1/3)=log[2]((1-1/3)/(1+a/3))=-1得
(1-1/3)/(1+a/3)=1/2
解得 a=1

f(x)=log[2]((1+x)/(1-x)) 定义域是 (-1,1)
f(-x)=log[2]((1-x)/(1+x)) =-log[2]((1+x)/(1-x)) =-f(x)

所以 f(x)是奇函数。

(2) G(X)=log[√2]((1+X)/k)=2log[2]((1+X)/k)
f(x)≤G(X) 即 log[2]((1+x)/(1-x)) ≤2log[2]((1+X)/k)

它在x∈[1/2,2/3]时有解，必有k>0.

log[2]((1+x)/(1-x)) ≤2log[2]((1+X)/k) 化为
0<k^2/(1-x^2)≤1
而 k>0 且x∈[1/2,2/3]
得 k^2≤1-x^2

又在x∈[1/2,2/3]时,1-x^2的最大值是5/9。

有x∈[1/2,2/3]时,f(x)≤G(X)有解：k>0 且 k^2≤5/9
解得 0<k≤(√5)/3

所以 k的取值范围是0<k≤(√5)/3。

希望对你有点帮助！