Question

已知：抛物线M：y=x 2 +（m-1）x+（m-2）与x轴相交于A（x 1 ，0），B（x 2 ，0）两点，且x 1 ＜x 2 。（1

已知：抛物线M：y=x 2 +（m-1）x+（m-2）与x轴相交于A（x 1 ，0），B（x 2 ，0）两点，且x 1 ＜x 2 。（1）若x 1 x 2 ＜0，且m为正整数，求抛物线M的解析式；（2）若x 1 ＜1，x 2 ＞1，求m的取值范围；（3）试判断是否存在m，使经过点A和点B的圆与y轴相切于点C（0，2）？若存在，求出M：y=x 2 +（m-1）x+（m-2）的值；若不存在，试说明理由；（4）若直线l：y=kx+b过点F（0，7），与（1）中的抛物线M相交于P，Q两点，且使 ，求直线l的解析式。

Answer 1

解：（1）由题意得， 解得 ∵m为正整数 ∴m=1 ∴ 。 （2）由题意知，当 时 解得： ∴m的取值范围是 。 （3）存在 因为过A，B两点的圆与y轴相切于点C（0，2）， 所以A，B两点在y轴的同侧， ∴x 1 x 2 ＞0 由切割线定理知，OC 2 =OA·OB， 即2 2 =|x 1 ||x 2 | ∴|x 1 x 2 |=4 ∴x 1 x 2 =4 ∴m-2=4 ∴m=6。 （4）设 则 过P，Q分别向x轴引垂线，垂足分别为 则 所以由平行线分线段成比例定理知， 因此， ，即 过P，Q分别向y轴引垂线，垂足分别为 则 所以 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 或 当 时，点 ∵直线l过 ∴ 解得 当 时，点 ∵直线l过 ∴ 解得 故所求直线l的解析式为： 或 。