Question

已知函数f （x）为R上的奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，（1）求证：函数f （x）在（-∞，0）上也是增

已知函数f （x）为R上的奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，（1）求证：函数f （x）在（-∞，0）上也是增函数；（2）如果f （ 1 2 ）=1，解不等式-1＜f （2x+1）≤0．

Answer 1

（1）令x 1 ＜x 2 ＜0，则-x 1 ＞-x 2 ＞0， ∵函数f（x）在（0，+∞）上为增函数∴f（-x 1 ）＞f（-x 2 ） 又∵函数f（x）为奇函数 ∴-f（x 1 ）＞-f（x 2 ） ∴f（x 1 ）＜f（x 2 ） ∴f（x）在（-∞，0）上为增函数 （2）∵f（-0）=f（0）∴f（0）=0 ∵ f(- 1 2 ) =-f（ 1 2 ）=-1∴f（- 1 2 ）＜f（2x+1）≤f（0） 又f（x）在R上单调递增∴ - 3 4 ＜x≤ - 1 2 ∴不等式-1＜f （2x+1）≤0的解集为：{x| - 3 4 ＜x≤- 1 2 }．