Question

如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）．第一次

如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）．第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为______，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．①请判断四边形EFGH的形状为______，此时AE与BF的数量关系是______；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．

Answer 1

（1）如题图2，由旋转性质可知EF=DF=DE，则△DEF为等边三角形．
在Rt△ADE与Rt△CDF中，

AD＝CD DE＝DF

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）
∴AE=CF．
设AE=CF=x，则BE=BF=4-x
∴△BEF为等腰直角三角形．
∴EF=

2

BF=

2

（4-x）．
∴DE=DF=EF=

2

（4-x）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE²+AD²=DE²，即：x+4²=[

2

（4-x]²，
解得：x₁=8-4

3

，x₂=8+4

3

（舍去）
∴EF=

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