已知函数f（x）=a2x-2ax+1+2（a＞0，a≠1）的定义域为[-1，+∞）．（1）若a=2，求f（x）的值域；（2）求f
已知函数f（x）=a2x-2ax+1+2（a＞0，a≠1）的定义域为[-1，+∞）．（1）若a=2，求f（x）的值域；（2）求f（x）的最小值；（3）当0＜a＜1时，若f...
已知函数f（x）=a2x-2ax+1+2（a＞0，a≠1）的定义域为[-1，+∞）．（1）若a=2，求f（x）的值域；（2）求f（x）的最小值；（3）当0＜a＜1时，若f（x）≤3对x∈[-1，2]恒成立，求a的取值范围．
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（1）当a=2时，
f（x）=22x-2?2x+1+2，
f（x）=22x-4?2x+2，x∈[-1，+∞）．
令2x=t，（t≥
），
g（t）=t2-4t+2=（t-2）2-2≥-2．
当且仅当t=2时取最值．
∴当a=2时，f（x）的值域为[-2，+∞）；
（2）令ax=t，
①当a＞1时，
∵x∈[-1，+∞），
∴t∈[
，+∞)．
g（t）=t2-2at+2=（t-a）2+2-a2．
∵a＞1，
∴
＜1＜a．
∴g（t）≥2-a2．
∴f（x）的最小值为：2-a2．
②当0＜a＜1时，
∵x∈[-1，+∞），
∴0＜t≤
．
g（t）=t2-2at+2=（t-a）2+2-a2．
∵0＜a＜1，
∴a＜1＜
．
∴g（t）≥2-a2．
∴f（x）的最小值为：2-a2．
综上，f（x）的最小值为：2-a2．
（3）当0＜a＜1时，
令ax=t，
g（t）=t2-2at+2，
∵当0＜a＜1时，
∵f（x）≤3对x∈[-1，2]恒成立，
∴g（t）≤3，t∈[a2，
]．
∴
．
∴
f（x）=22x-2?2x+1+2，
f（x）=22x-4?2x+2，x∈[-1，+∞）．
令2x=t，（t≥
| 1 |
| 2 |
g（t）=t2-4t+2=（t-2）2-2≥-2．
当且仅当t=2时取最值．
∴当a=2时，f（x）的值域为[-2，+∞）；
（2）令ax=t，
①当a＞1时，
∵x∈[-1，+∞），
∴t∈[
| 1 |
| a |
g（t）=t2-2at+2=（t-a）2+2-a2．
∵a＞1，
∴
| 1 |
| a |
∴g（t）≥2-a2．
∴f（x）的最小值为：2-a2．
②当0＜a＜1时，
∵x∈[-1，+∞），
∴0＜t≤
| 1 |
| a |
g（t）=t2-2at+2=（t-a）2+2-a2．
∵0＜a＜1，
∴a＜1＜
| 1 |
| a |
∴g（t）≥2-a2．
∴f（x）的最小值为：2-a2．
综上，f（x）的最小值为：2-a2．
（3）当0＜a＜1时，
令ax=t，
g（t）=t2-2at+2，
∵当0＜a＜1时，
∵f（x）≤3对x∈[-1，2]恒成立，
∴g（t）≤3，t∈[a2，
| 1 |
| a |
∴
|
∴
|
