Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB．点M为线段PD的中点．（I）证明：平

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB．点M为线段PD的中点．（I）证明：平面ABM⊥平面PCD；（Ⅱ）求BM与平面PCD所成的角．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．∵底面是矩形，∴AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD．
∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD．又PA=AD，点M为线段PD的中点，∴AM⊥PD．∴PD⊥平面ABM．
又PD?平面PCD，∴平面ABM⊥平面PCD．…（6分）
（Ⅱ）∵AB∥CD，∴AB∥平面PCD，∴点B到平面PCD的距离与点A到平面PCD的距离相等．
由（Ⅰ）知，AM⊥PD，AM⊥CD，∴AM⊥平面PCD，即点A到平面PCD的距离为AM．
设PA＝AD＝

2

AB＝x，则AM＝

2

2

AD＝

2

2

x．∴点B到平面PCD的距离为

2

2

x．
在Rt△ABM中，求得 BM＝

AB2+AM2

＝x．
设BM与平面PCD所成的角为θ，则sinθ＝

2 2 x

x

＝

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