Question

（2012?肇庆二模）如图，过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E

（2012?肇庆二模）如图，过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）过点E作AD的垂线交AC于点P，求证：2AE2=AC?AP．

Answer 1

证明：（1）由已知可知：EF⊥AC，AO=CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，

∠EAO＝∠FCO ∠AEO＝∠CFO AO＝CO

，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴EO=FO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形；

（2）∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE，
∴△AOE∽△AEP，
∴

AO

AE

＝

AE

AP

，
∴AE²=AO?AP，
又AC=2AO，
∴2AE²=AC?AP．