Question

已知：如图（1），在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，点D、E分别在BC、AC边上，且CD=CE，连接AD、BE，点O、M、

已知：如图（1），在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，点D、E分别在BC、AC边上，且CD=CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．易证：△OMN是等腰直角三角形．（1）将图（1）中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图（2），连接AE、BD，O、M、N仍为AB、AD、BE中点，则△OMN是等腰直角三角形的结论是否发生变化？并说明理由．（2）若△CDE绕着点C顺时针继续旋转至图（3）所示位置时，O、M、N仍为AB、AD、BE中点，试问△OMN是等腰直角三角形的结论是否成立？（直接写出结论）

Answer 1

（1）△OMN是等腰直角三角形．
理由如下：如图，连接BD，
∵△CDE顺时针旋转90°，
∴∠ACE=∠ACB=90°，
在△BCD和△ACE中，

BC＝AC ∠ACE＝∠ACB＝90° CD＝CE

，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，∠CBD=∠CAE，
∵O、M、N分别为AB、AD、BE中点，
∴OM∥BD且OM=

1

2

BD，ON∥AE且ON=

1

2

AE，
∴OM=ON，∠ABD=∠AOM，∠BAE=∠BON，
∴∠MON=180°-（∠AOM+∠BON）=180°-（∠ABD+∠BAE）=180°-（∠ABD+∠CBD+∠BAC）=180°-（∠ABC+∠BAC），
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∴∠MON=180°-90°=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形；

（2）△OMN是等腰直角三角形的结论仍成立．
如图，连接BD、AE，证明方法与（1）相同．