Question

对有n（n≥4）个元素的总体{1，2，3，…，n}进行抽样，先将总体分成两个子总体{1，2，3，…，m}和{m+1，m

对有n（n≥4）个元素的总体{1，2，3，…，n}进行抽样，先将总体分成两个子总体{1，2，3，…，m}和{m+1，m+2，…，n}（m是给定的正整数，且2≤m≤n-2），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率．（1）求P1n的表达式（用m，n表示）；（2）求所有Pij（1≤i＜j≤n）的和．

Answer 1

（1）P_ij表示元素i和j同时出现在样本中的概率．
1∈{1，2，3，…，m}，n∈{m+1，m+2，…，n}．
∴P1n＝

m?1

C 2 m

?

n?m?1

C 2 n?m

＝

4

m(n?m)

．
（2）当i，j都在{1，2，…，m}中时，Pij＝

1

C 2 m

，
而从{1，2，…，m}中选两个数的不同方法数为

C

2 m

，则P_ij的和为1．
当i，j同时在{m+1，m+2，…，n}中时，同理可得P_ij的和为1．
当i在{1，2，…，m}中，j在{m+1，m+2，…，n}中时，Pij＝

4

m(n?m)

，
而从{1，2，…，m}中选取一个数，从{m+1，m+2，…，n}中选一个数的不同方法数为m（n-m），
则P_ij的和为4．所以所有P_ij的和为1+1+4=6．