Question

在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在

在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△CBC1的面积为3，求△ABA1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按顺时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．

Answer 1

（1）如图1，依题意得：△A₁C₁B≌△ACB．
∴BC₁=BC，∠A₁C₁B=∠C=30°．
∴∠BC₁C=∠C=30°．
∴∠CC₁A₁=60°；

（2）如图2，由（1）知：△A₁C₁B≌△ACB．
∴A₁B=AB，BC₁=BC，∠A₁BC₁=∠ABC．
∴∠ABA₁=∠CBC₁，

A1B

C1B

＝

AB

BC

＝

4

6

＝

2

3

∴△A₁BA∽△C₁BC  
∴

S△A1BA

S△C1BC

＝(

2

3

)2＝

4

9

∵S△C1BC＝3，
∴S△A1BA＝

4

3

；

（3）线段EP₁长度的最大值为8，EP₁长度的最小值1．
解题过程如下：①如图a，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin30°=6×

1

2

=3，
当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小，最小值为：EP₁=BP₁-BE=BD-BE=3-2=1；
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，最大值为：EP₁=BC+BE=6+2=8．
综上所述，线段EP₁长度的最大值为8，EP₁长度的最小值1．