Question

无穷小与有界变量的乘积是______

无穷小与有界变量的乘积是______．

Answer 1

无穷小。

分析过程如下：

设函数f（x）和g（x），而函数f（x）是某一自变量变化过程下的无穷小，即limf（x）=0。

g（x）是有界函数，即存在M＞0，使得|f（x）|≤M。

∴-M|f（x）|≤|f（x）g（x）|≤M|f（x）|。

而limM|f（x）|=0。

∴由夹逼定理，得：

lim|f（x）g（x）|=0。

∴limf（x）g（x）=0。

即无穷小与有界变量的乘积是无穷小。

扩展资料：

无穷小的性质：

1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。

2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

3、无穷小量与自变量的趋势相关。

4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

6、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

7、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

8、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

Answer 2

设函数f（x）和g（x），而
函数f（x）是某一自变量变化过程下的无穷小，即limf（x）=0
g（x）是有界函数，即存在M＞0，使得|f（x）|≤M
∴-M|f（x）|≤|f（x）g（x）|≤M|f（x）|
而limM|f（x）|=0
∴由夹逼定理，得
lim|f（x）g（x）|=0
∴limf（x）g（x）=0
即无穷小与有界变量的乘积是无穷小．