Question

判断下列函数的奇偶性：（1） f （ x ）=| x +1|－| x －1|；（2） f （ x ）=（ x －1）· ；（3） ；

判断下列函数的奇偶性：（1） f （ x ）=| x +1|－| x －1|；（2） f （ x ）=（ x －1）· ；（3） ；（4）

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Answer 1

⑴奇函数，⑵既不是奇函数也不是偶函数，⑶奇函数，⑷奇函数

判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。 （1）函数的定义域 x ∈（－∞，+∞），对称于原点. ∵ f （－ x ）=|－ x +1|－|－ x －1|=| x －1|－| x +1|=－（| x +1|－| x －1|）=－ f （ x ）， ∴ f （ x ）=| x +1|－| x －1|是奇函数. （2）先确定函数的定义域.由 ≥0，得－1≤ x ＜1，其定义域不对称于原点，所以 f （ x ）既不是奇函数也不是偶函数. （3）去掉绝对值符号，根据定义判断. 由 得 故 f （ x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有 x +2＞0. 从而有 f （ x ）= = ，∴ f （－ x ）= =－ =－ f （ x ） 故 f （ x ）为奇函数. （4）∵函数 f （ x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当 x ＞0时，－ x ＜0， ∴ f （－ x ）=（－ x ）［1－（－ x ）］=－ x （1+ x ）=－ f （ x ）（ x ＞0）. 当 x ＜0时，－ x ＞0，∴ f （－ x ）=－ x （1－ x ）=－ f （ x ）（ x ＜0）. 故函数 f （ x ）为奇函数. 1函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则 时 ) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件 2分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 题型2：证明抽象函数的奇偶性