Question

如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的圆O交AC于点D，过点D作⊥DE⊥BC，垂足为E，连接OE．若CD=3，∠AC

如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的圆O交AC于点D，过点D作⊥DE⊥BC，垂足为E，连接OE．若CD=3，∠ACB=30°，（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求OE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD、BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴D为AC中点，
∵OA=OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵CD=

3

，∠ACB=30°，
∴cos30°=

CD

BC

，
∴BC=2，
∴BD=

1

2

BC=1，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C=30°，
∵BD=1，
∴AB=2BD=2，
∴OD=1，
在Rt△CDB中，由三角形面积公式得：BC×DE=BD×CD，
1×

3

=2DE，
DE=

3

2

，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE=

12+( 3 2 )2

=

7

2

．