Question

已知函数f（x）=2lnx+ax2-1（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a=1，若不等式f（1+x）+f（

已知函数f（x）=2lnx+ax2-1（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a=1，若不等式f（1+x）+f（1-x）-m＜0对任意的0＜x＜1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

2

x

+2ax，
令f′（x）＞0，∵x＞0，∴2ax²+2＞0，
①当a≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，∴f（x）在（0，+∞）递增；
②当a＜0时，∴2ax²+2＞0?x²＜-

1

a

?-

? 1 a

＜x＜

? 1 a

，又x＞0，
∴f（x）的递增区间是（0，

?a

?a

），递减区间是（

?a

?a

，+∞）；
（Ⅱ）设F（x）=f（1+x）+f（1-x）=2ln（1+x）+（1+x）²-1+2ln（1-x）+（1-x）²-1，
化简得：F（x）=2ln（1+x）+2ln（1-x）+2x²，
F′（x）=

2

1+x

-

2

1?x

+4x=-

x3

1?x2

，
∵0＜x＜1，∴F′（x）＜0在0＜x＜1上恒成立，
∴F（x）在x∈（0，1）递减，
∴F（x）＜F（0）=0，
∴m≥0，即m的范围是[0，+∞）．