设p，q为实数，试讨论广义积分∫∞0esinxsin2xxp(1+xq)何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，并说明理
设p，q为实数，试讨论广义积分∫∞0esinxsin2xxp(1+xq)何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，并说明理由．...
设p，q为实数，试讨论广义积分∫∞0esinxsin2xxp(1+xq)何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，并说明理由．
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解答：解 （a）考虑积分
dx＝
dx+
dx≡I1+I2．
由于当x→0+时，
与
同阶；
当x→+∞时，
≤
，
≥
＝
?
，
≥
(
+
≤
+
)，
从而，
当p-1＜1时，I1收敛，
当p+q＞1时，I2收敛，
求解可得，1-q＜p＜2．
因此，当且仅当1-q＜p＜2时，原广义积分绝对收敛．
（b）考虑
dx＝
dx+
dx≡J1+J2．
易知，
i．当p＜2时，J1收敛；当p≥2时，J1发散；
ii．当p+q＞0时，J2收敛；当p+q≤0时，I2发散．
从而当且仅当-q＜p＜2时，广义积分收敛．
综上所述，我们得出结论：
（1）当1-q＜p＜2时，原广义积分绝对收敛；
（2）当p＜2且0＜p+q≤1时，原广义积分条件收敛；
（3）其他情况时，原广义积分发散．
| ∫ | ∞ 0 |
| esinx|sin2x| |
| xp(1+xq) |
| ∫ | 1 0 |
| esinx|sin2x| |
| xp(1+xq) |
| ∫ | ∞ 1 |
| esinx|sin2x| |
| xp(1+xq) |
由于当x→0+时，
| esinx|sin2x| |
| xp(1+xq) |
| 1 |
| xp?1 |
当x→+∞时，
| esinx|sin2x| |
| xp(1+xq) |
| e |
| xp+q |
| esinx|sin2x| |
| xp(1+xq) |
| e?1sin2x |
| 2xp+q |
| 1 |
| 4exp+q |
| cos4x |
| 4exp+q |
| esinx|sin2x| |
| xp(1+xq) |
| x?p?q |
| 2e |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 12 |
| kπ |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
从而，
当p-1＜1时，I1收敛，
当p+q＞1时，I2收敛，
求解可得，1-q＜p＜2．
因此，当且仅当1-q＜p＜2时，原广义积分绝对收敛．
（b）考虑
| ∫ | ∞ 0 |
| esinxsin2x |
| xp(1+xq) |
| ∫ | 1 0 |
| esinxsin2x |
| xp(1+xq) |
| ∫ | ∞ 1 |
| esinxsin2x |
| xp(1+xq) |
易知，
i．当p＜2时，J1收敛；当p≥2时，J1发散；
ii．当p+q＞0时，J2收敛；当p+q≤0时，I2发散．
从而当且仅当-q＜p＜2时，广义积分收敛．
综上所述，我们得出结论：
（1）当1-q＜p＜2时，原广义积分绝对收敛；
（2）当p＜2且0＜p+q≤1时，原广义积分条件收敛；
（3）其他情况时，原广义积分发散．
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