Question

（2012?西安一模）如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边

（2012?西安一模）如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形F1B1F2B2是一个面积为8的正方形（记为Q ）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点、．当线段MN的中点G落在正方形Q内（包括边界）时，求直线L的斜率的取值范围．

Answer 1

（I）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)，
∵a²=8，b=c，a²=b²+c²，解得b²=4，
∴椭圆C的标准方程为

x2

8

+

y2

4

＝1．
（II）椭圆C的左准线方程为x=-4，∴点P的坐标为（-4，0）．
由于直线l的斜率k存在，可设直线l的方程为y=k（x+4）．
设点M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），线段MN的中点为G（x₀，y₀），联立

y＝k(x+4) x2+2y2＝8

，
可得（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0．①
由△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-8）＞0解得-

2

2

＜k＜

2

2

．②
∴x₁+x₂=

?16k2

1+2k2

，x0＝

x1+x2

2

=

?8k2

1+2k2

，y₀=k（x₀+4）=

4k

1+2k2

．
∵x₀≤0，所以点G不可能在y轴的右边．
又直线F₁B₂，F₁B₁方程分别为y=x+2，y=-x-2
∴点G在正方形内（包括边界）的充要条件为

y0≤x0+2 y0≥?x0?2

，
即

4k 1+2k2 ≤ ?8k2 1+2k2 +2 4k 1+2k2 ≥ 8k2 1+2k2 ?2

化为

2k2+2k?1≤0 2k2?2k?1≤0

，解得?

3 ?1

2

≤k≤

3 ?1

2

．
满足②．∴直线l的斜率的取值范围是[?

3 ?1

2

，

3 ?1

2

]．