(2008?北京)已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交

(2008?北京)已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠CBD=∠A.(1)判断直线BD... (2008?北京)已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠CBD=∠A.(1)判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;(2)若AD:AO=8:5,BC=2,求BD的长. 展开
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scream9624
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解答:解:(1)直线BD与⊙O相切.
证明:如图,连接OD.
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
∵∠C=90°,∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A
∴∠ADO+∠CDB=90°
∴∠ODB=90°
∴直线BD与⊙O相切.

(2)解法一:如图,连接DE.
∵AE是⊙O的直径,∴∠ADE=90°
∵AD:AO=8:5
cosA=
AD
AE
4
5

∵∠C=90°,∠CBD=∠A
cos∠CBD=
BC
BD
4
5

∵BC=2,
BD=
5
2


解法二:如图,过点O作OH⊥AD于点H.
∴AH=DH=
1
2
AD

∵AD:AO=8:5
∴cosA=
AH
AO
4
5

∵∠C=90°,∠CBD=∠A
cos∠CBD=
BC
BD
4
5

∵BC=2
BD=
5
2
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