Question

已知数列{an}的前n项和Sn，且Sn=（n+1）an-n(n+1)2（n∈N*）．（I）求证：数列{an}为等差数列，并求其通

已知数列{an}的前n项和Sn，且Sn=（n+1）an-n(n+1)2（n∈N*）．（I）求证：数列{an}为等差数列，并求其通项公式；（II）若bn=（2n-1）?2an，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（I）∵S_n=（n+1）a_n-

n(n+1)

2

（n∈N^*），
∴当n=1时，a₁=1，
当n≥2时，S_n-S_n-1=[（n+1）a_n-

n(n+1)

2

]-[nan?1?

(n?1)n

2

]，
化简，得a_n-a_n-1=1，（n≥2），
即数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n．
（II）∵b_n=（2n-1）?2an=（2n-1）?2ⁿ，
∴Tn＝1×21+3×22+5×23+…+（2n-1）×2ⁿ，
2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴?Tn＝2+2×(22+23+…+2n)-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+2×

22(1?2n?1)

1?2

-（2n-1）?2ⁿ⁺¹
=-（2n-3）?2ⁿ⁺¹-6，
∴Tn＝(2n?3)?2n+1+6．