Question

已知常数a大于0 fx=lnx-2ax/x+2 讨论fx的单调性 2.f(x)有两个极值点x1

x2,求

Answer 1

f(x)=lnx-2ax/(x+2) a>0
函数定义域x>0
f'(x)=1/x-[2a(x+2)-2ax]/(x+2)²
=1/x-4a/(x+2)²
=[(x+2)²-4ax]/x(x+2)²
=[x²+(4-4a)x+4]/x(x+2)²
∴Δ=(4-4a)²-16=-32a+16a²<0即0<a<2时

x²+(4-4a)x+4恒大于0（抛物线全部在X轴上方）
∴f'(x)恒大于0，f(x)单调递增。
a≥2时
∵2a-2-2√a(a-2)>2a-2-(a+a-2)=0 (算术平均数>几何平均数)
∴0<x<2a-2-2√a(a-2)或x>2a-2+2√a(a-2)时，f'(x)>0，f(x)单调递增。
2a-2-2√a(a-2)<x<2a-2+2√a(a-2)时，f'(x)<0，f(x)单调递减。
2.由上述分析，
f(x)有两个极值点x1、x2,则有a>2.
x1为极大值点；
x2为极小值点。