Question

设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．（

设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．（3）若集合B={x|f〔f（x）〕=x}，且A=?，求证：B=?．

Answer 1

（1）由f（0）=2可知c=2，
∵A={1，2}，
∴1，2是方程ax²+（b-1）x+c=0的两实根，
∴

1+2＝ 1?b a 2＝ c a

，解得a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
因为x∈[-2，2]，根据函数图象可知，
当x=1时，f（x）_min=f（1）=1，即m=1，
当x=-2时，f（x）_max=f（-2）=10，即M=10，
∴M=10，m=1．
（2）由题意知，方程ax²+（b-1）x+c=0有两相等实根x₁=x₂=1，
根据韦达定理得到：

1+1＝ 1?b a 1＝ c a

，即

b＝1?2a c＝a

，
∴f（x）=ax²+bx+c=ax²+（1-2a）x+a，x∈[-2，2]其对称轴方程为x=

2a?1

2a

=1-

1

2a

又a≥1，故1-

1

2a

∈[

1

2

，1）
∴M=f（-2）=9a-2
m=f（