Question

已知函数f（x）=x|x 2 -3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m＞0， （Ⅰ）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数；

已知函数f（x）=x|x 2 -3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m＞0， （Ⅰ）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数； （Ⅱ）如果函数f（x）的值域是[0，2]，试求m的取值范围； （Ⅲ）如果函数f（x）的值域是[0，λm 2 ]，试求实数λ的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）当m＜1时，f（x）=x（3-x 2 ）=3x-x 3 ， 因为f′（x）=3-3x 2 =3（1-x 2 ）＞0， 所以f（x）是增函数； （Ⅱ）令g（x）=x|x 2 -3|，x≥0， 则 ， 当 时，由g′（x）=3-3x 2 =0得x=1， 所以g（x）在[0，1]上是增函数，在 上是减函数； 当 时，由g′（x） =3x 2 -3＞0，所以g（x）在 上是增函数， 所以当 时，函数g（x）的最大值是g（1）=2，最小值是g（0）= ， 从而0＜m＜1均不符合题意，且 均符合题意； 当x≥0时，在 时，f（x）∈[0，2]； 在 时，f（x）∈[0，f（m）]； 这时f（x）的值域是[0，2]的充要条件是f（m）≤2， 即m 3 -3m≤2，（m-2）（m+1） 2 ≤0， 解得 ， 综上所述，m的取值范围是[1，2]。 （Ⅲ）据（Ⅱ）知，当0＜m＜1时，函数f（x）的最大值是f（m）=3m-m 3 ， 由题意知，3m-m 3 =λm 2 ，即 -m是减函数， 故λ的取值范围是（2，+∞）； 当1≤m≤2时，函数f（x）的最大值是f（1）=2， 由题意知，2=λm 2 ，即 是减函数，故λ的取值范围是 ； 当m＞2时，函数f（x）的最大值是f（m）=m 3 -3m， 由题意知，m 3 -3m=λm 2 ，即λ=m- 是增函数， 故λ的取值范围是 ； 综上所述，λ的最小值是 ，且此时m=2。