Question

设函数f(x)＝x1+x，x∈[0，1]，定义函数列f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn-1（

设函数f(x)＝x1+x，x∈[0，1]，定义函数列f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn-1（x）），…设Sn是曲线y=fn（x），直线x=1，y=0所围图形的面积．求极限limn→∞nSn．

Answer 1

∵f1(x)＝

x

1+x

，f2(x)＝

f1(x)

1+f1(x)

＝

x 1+x

1+ x 1+x

＝

x

1+2x

，f3(x)＝

f2(x)

1+f2(x)

＝

x

1+3x

，…，
利用数学归纳法可得fn(x)＝

x

1+nx

．
∴Sn＝

∫

1  0

fn(x)dx＝

∫

1 0

x

1+nx

dx＝

1

n

∫

1 0

(1?

1

1+nx

)dx＝

1

n

(1?

ln(1+n)

n

)，
∴

lim

n→∞

nSn＝

lim

n→∞

(1?

ln(1+n)

n

)＝1?

lim

n→∞

ln(1+n)

n

＝1?

lim

x→+∞

ln(1+x)

x

＝

lim

x→+∞

1

1+x

＝1．