Question

已知{an}是等差数列，{bn}是各项为正的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（1）求数列{an}，{bn}

已知{an}是等差数列，{bn}是各项为正的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{an+bn} 的前n项和Sn．

Answer 1

（1）设等差数列{ a_n}的公差为d，等比数列{ b_n}的公比为q，则根据题意，得

a1+2d+b1q4＝21 a1+4d+b1q2＝13.

…（3分）
代入a₁=b₁=1，整理得 

2d+q4＝20 4d+q2＝12

，
消去d，得 2q⁴-q²-28=0，即q²=4，进而q=2，q=-2（舍去）．
所以 d=2．
数列{ a_n}，{ b_n}的通项公式分别为a_n=2n-1，b_n=2^n-1．…（7分）
（2）因为 a_n+b_n=2n-1+2^n-1，所以由分组求和的办法，可得Sn＝

n(1+2n?1)

2

+

1?(1?2n)

1?2

＝2n+n2?1．
…（10分）

Answer 2

（1）设等差数列{ a_n}的公差为d，等比数列{ b_n}的公比为q，则根据题意，得

a1+2d+b1q4＝21 a1+4d+b1q2＝13.

…（3分）
代入a₁=b₁=1，整理得 

2d+q4＝20 4d+q2＝12

，
消去d，得 2q⁴-q²-28=0，即q²=4，进而q=2，q=-2（舍去）．
所以 d=2．
数列{ a_n}，{ b_n}的通项公式分别为a_n=2n-1，b_n=2^n-1．…（7分）
（2）因为 a_n+b_n=2n-1+2^n-1，所以由分组求和的办法，可得Sn＝

n(1+2n?1)

2

+

1?(1?2n)

1?2

＝2n+n2?1．
…（10分）