Question

已知如图，△ABC是等边三角形，P是三角形外的一点，且∠ABP+∠ACP=180°．求证：AP平分∠BPC

已知如图，△ABC是等边三角形，P是三角形外的一点，且∠ABP+∠ACP=180°．求证：AP平分∠BPC．

Answer 1

证明：过点A作AM⊥BP，AN⊥PN，交PC的延长线于点N，
可得出∠AMB=∠ANC=90°，
∵∠ACN+∠ACP=180°，且∠ABM+∠ACP=180°，
∴∠ACN=∠ABM，
又△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
在△ABM和△ACN中，

∠AMB＝∠ANC ∠ABM＝∠ACN AB＝AC

，
∴△ABM≌△ACN（AAS），
∴AM=AN，又AM⊥BP，AN⊥PN，
∴PA平分∠BPC．