已知数列{an}的前n项和Sn=n2,n∈N*,数列{bn}满足:bn=2n?an,且{bn}的前n项和记为Tn.(1)求数列{an}
已知数列{an}的前n项和Sn=n2,n∈N*,数列{bn}满足:bn=2n?an,且{bn}的前n项和记为Tn.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)证明:对...
已知数列{an}的前n项和Sn=n2,n∈N*,数列{bn}满足:bn=2n?an,且{bn}的前n项和记为Tn.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)证明:对任意n∈N*,Tn≥2恒成立.
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(1)解:当n=1时,a1=S1=1;…(1分)
当n≥2时,an=Sn?Sn?1=n2?(n?1)2=2n?1.…(3分)
∴an=2n-1,n∈N*…(4分)
∴bn=(2n?1)?2n,n∈N*…(6分)
(2)证明:Tn=b1+b2+b3+…+bn
即Tn=1?21+3?22+5?23+…+(2n?1)?2n------------①
①×2:2Tn=1?22+3?23+5?24+…+(2n?1)?2n+1-----------------②
①-②:?Tn=21+2?22+2?23+…+2?2n?(2n?1)2n+1=21+2(22+23+…+2n)-(2n-1)2n+1
=2 +2
?(2n?1)2n+1=(6-4n)2n-6…(10分)
∴Tn=(4n?6)2n+6,
∵Tn随着n的增大而增大,∴Tn≥T1=2,
∴Tn≥2,对任意n∈N*恒成立.…(12分)
当n≥2时,an=Sn?Sn?1=n2?(n?1)2=2n?1.…(3分)
∴an=2n-1,n∈N*…(4分)
∴bn=(2n?1)?2n,n∈N*…(6分)
(2)证明:Tn=b1+b2+b3+…+bn
即Tn=1?21+3?22+5?23+…+(2n?1)?2n------------①
①×2:2Tn=1?22+3?23+5?24+…+(2n?1)?2n+1-----------------②
①-②:?Tn=21+2?22+2?23+…+2?2n?(2n?1)2n+1=21+2(22+23+…+2n)-(2n-1)2n+1
=2 +2
4(1?2n?1) |
1?2 |
∴Tn=(4n?6)2n+6,
∵Tn随着n的增大而增大,∴Tn≥T1=2,
∴Tn≥2,对任意n∈N*恒成立.…(12分)
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