Question

已知数列{an}的前n项和Sn=n2，n∈N*，数列{bn}满足：bn=2n?an，且{bn}的前n项和记为Tn．（1）求数列{an}

已知数列{an}的前n项和Sn=n2，n∈N*，数列{bn}满足：bn=2n?an，且{bn}的前n项和记为Tn．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）证明：对任意n∈N*，Tn≥2恒成立．

Answer 1

（1）解：当n=1时，a₁=S₁=1；…（1分）
当n≥2时，an＝Sn?Sn?1＝n2?(n?1)2＝2n?1．…（3分）
∴a_n=2n-1，n∈N^*…（4分）
∴bn＝(2n?1)?2n，n∈N^*…（6分）
（2）证明：T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
即Tn＝1?21+3?22+5?23+…+(2n?1)?2n------------①
①×2：2Tn＝1?22+3?23+5?24+…+(2n?1)?2n+1-----------------②
①-②：?Tn＝21+2?22+2?23+…+2?2n?(2n?1)2n+1=2¹+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）2ⁿ⁺¹
=2 +2

4(1?2n?1)

1?2

?(2n?1)2n+1=（6-4n）2ⁿ-6…（10分）
∴Tn＝(4n?6)2n+6，
∵T_n随着n的增大而增大，∴T_n≥T₁=2，
∴T_n≥2，对任意n∈N^*恒成立．…（12分）