Question

设a∈R，函数f（x）=2x3+（6-3a）x2-12ax+2．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程

设a∈R，函数f（x）=2x3+（6-3a）x2-12ax+2．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[-2，2]上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=6[x²+（2-a）x-2a]=6（x+2）（x-a）．（3分）
当a=1时，f'（0）=-12，?f（0）=2，
所以切线方程为y-2=-12x，即12x+y-2=0．（6分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，解得：x₁=-2，x₂=a．
①a≥2，则当x∈（-2，2）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（-2，2）上单调递减，
所以，当x=2时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（2）=42-36a．（8分）
②-2＜a＜2，则当x∈（-2，2）时，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

所以，当x=a时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（a）=-a³-6a²+2．（11分）
③a≤-2，则当x∈（-2，2）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（-2，2）上单调递增，
所以，当x=-2时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（-2）=10+12a．（13分）
综上，当a≤-2时，f（x）的最小值为10+12a；当-2＜a＜2时，f（x）的最小值为-a³-6a²+2；
当a≥2时，f（x）的最小值为42-36a．（14分）