Question

（2012?武汉）在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA=45，（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；（2）如图2，点

（2012?武汉）在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA=45，（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．

Answer 1

（1）解：作DB垂直于BC，连DC，
∵∠DBC=90°，∴DC为直径．
∵∠A=∠D，BC=5，sinA=

4

5

，
∴sinD=

BC

CD

=

4

5

，
∴CD=

25

4

，
答：三角形ABC外接圆的直径是

25

4

．

（2）解：连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过点I作IG⊥BC于点G，过I作IE⊥AB于E，
∵AB=BC=5，I为△ABC内心，
∴BF⊥AC，AF=CF，
∵sinA=

4

5

=

BF

AB

，
∴BF=4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=3，
∵BA=BC，I是内心，
即BF是∠ABC的角平分线，
∴AC=2AF=6，
∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，
∴IE=IF=IG，
设IE=IF=IG=R，
∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积，
∴

1

2

AB×R+

1

2

BC×R+

1

2

AC×R=

1

2

AC×BF，
即5×R+5×R+6×R=6×4，
∴R=

3

2

，
在△AIF中，AF=3，IF=

3

2

，由勾股定理得：AI=

3

2

5

．
答：AI的长是

3

2

5

．