Question

已知函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且满足条件：①f（xy）=f（x）+f（y）；②f（2）=1；

已知函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且满足条件：①f（xy）=f（x）+f（y）；②f（2）=1；③当x＞1时，f（x）＞0．（1）求证：f（x）为偶函数；（2）讨论函数的单调性；（3）求不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集．

Answer 1

（1）证明：法一：令x=y=1，有f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．
令x=y=-1，有f（1）=f（-1）+f（-1），∴f（-1）=0．
令y=-1，有f（-x）=f（x）+f（-1），
∴f（x）=f（-x）且定义域关于原式对称，
∴f（x）是偶函数                                 
法二：f（x²）=f（x）+f（x）=f（-x）+f（-x），
∴f（x）=f（-x）
（2）证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
∴f（x₂）=f(

x2

x1

?x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)，
∵

x2

x1

＞1，当x＞1时，f（x）＞0．
∴f(x2)?f(x1)＝f(

x2

x1

)＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（x）是偶函数，
∴f（-x）在（-∞，0）上单调递减．
（3）解：∵f（2×2）=f（2）+f（2）=2，
∴f（x）+f（x-3）≤2=f（4），
∴f（x（x-3）≤f（4），∵f（x）是偶函数，
∴f（|x（x-3）|）≤f（4），∴

x≠0 x?3≠0 |x(x?4)|≤4

，解得-1≤x≤4且x≠0，3．
∴解集为[-1，0）∪（0，3）∪（3，4]