Question

如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1．

如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求AD的长．

Answer 1

（1）∵在△ABE和△CAD中，

AB＝AC ∠BAE＝∠ACD AE＝CD

，
∴△ABE≌△CAD，（SAS）
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴AD=BE，∠AEB=∠ADC
∵∠DAC+∠ADC+∠ACB=180°，∠DAC+∠AEB+∠APE=180°，
∴∠ACB=∠APE=60°，
∴∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=6，
∴AD=BE=BP+PE=6+1=7．