Question

已知函数f（x）=x2eax，其中a≤0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求函数f（x

已知函数f（x）=x2eax，其中a≤0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=x（ax+2）e^ax．
（i）当a=0时，令f'（x）=0，得x=0．
若x＞0，则f'（x）＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增；
若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（-∞，0）上单调递减．
（ii）当a＜0时，令f′(x)＝0，得x(ax+2)＝0，故x＝0或x＝?

2

a

.
若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（-∞，0）上单调递减；
若0＜x＜?

2

a

，则f′(x)＞0，从而f(x)在(0，?

2

a

)上单调递增；
若x＞?

2

a

，则f′(x)＜0，从而f(x)在(?

2

a

，+∞)上单调递减．
（Ⅱ）（i）当a=0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=1．
（ii）当-2＜a＜0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=e^a．
（iii）当a≤-2时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f(?

2

a

)＝

4

a2e2

.