Question

如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，E是BC边的中点，点P在对角线AC上，连接BP，EP，则△BPE周长最小值

如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，E是BC边的中点，点P在对角线AC上，连接BP，EP，则△BPE周长最小值为23+223+2．

Answer 1

解答：解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴B、D关于直线AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵ABC=120°，
∴∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴DE⊥BC，BE=CE=

1

2

BC=

1

2

×4=2，
∴DE=

CD2?EC2

=

42?22

=2

3

，
∴△BPE周长最小值=PE+BP+BE=DE+BE=2

3

+2．
故答案为2

3

+2．